Zusatzinformationen zum Lehrbuch Diskrete Mathematik mit Grundlagen von Sebastian Iwanowski und Rainer Lang

Lösungen zu ausgewählten Aufgaben

Verschiedene Leser baten mich bereits um Lösungen zu Übungsaufgaben, und dieser Bitte wird teilweise entsprochen:

Link zu den Aufgaben

Der Tutor Jörg Porath hat sämtliche Übungsaufgaben des WS 2017/18 als Beamerpräsentation gelöst. Einige Aufgaben stammten direkt aus dem Lehrbuch, andere waren nur geringfügig verschieden und konnten an die entsprechende Lehrbuchaufgabe mit geringem Aufwand angepasst werden.

Diese Lösungen werden in weiteren Semestern noch weiter ergänzt. Interessierte Leser sind eingeladen, mich nach den Lösungen zu bestimmten Aufgaben zu fragen. Ich werde diese nach Möglichkeit vorrangig zur Verfügung stellen.

Korrektur der Fehler im Lehrbuch

Das Lehrbuch ist zwar vor der Veröffentlichung von verschiedenen Personen sorgfältig gelesen worden, aber es scheint ein Naturgesetz zu sein, dass sich in jeder Veröffentlichung immer noch Fehler befinden. Die bisher gefundenen Fehler werden hier aufgelistet, und ich vermute, dass noch weitere Fehler auf ihre Entdeckung warten. Ich bin jedem Leser dankbar für einen neuen Hinweis. Bitte teilen Sie mir diesen per e-mail mit.

Die Fehler und deren Korrekturen werden hier in Seitenreihenfolge mit dem Namen und Datum des Erstentdeckers aufgelistet. Wer anonym bleiben möchte, teile mir das bitte in seinem Fehlerhinweis mit.

S. viii (Vorwort), 4. Absatz: "Wir lösen dieses Dilemma, in dem wir": "indem" (Hänel, 21.10.2014)

S. 4, letzte Zeile: "Die zugehörige Verknüpfungsergebnis": "Das" (Hänel, 21.10.2014)

S. 17, Beispiel 1.6, 3): "die kleiner als alle anderen ist": "kleiner, als alle Zahlen ist" (Kosubek, 08.05.2015)

S. 17, unter Beispiel 1.6: wird klarer beschrieben durch "... belegen, dass die Vertauschung verschiedener Quantoren den Wahrheitswert einer Aussage ändern kann" (Kosubek, 08.05.2015)

S. 17, letzter Absatz nach Beispiel 1.6: Die Vertauschung verschiedener Quantoren sollte durch ein kleines Beispiel belegt werden. (Kosubek, 02.06.2015)

S. 19, Aufgabe 1.4: "Aussagenlogik.": Punkt entfernen (Hänel, 22.01.2015)

S. 23, 2. Absatz: "Zwei Mengen heißen gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten": Abschlusspunkt fehlt. (Hänel, 22.10.2014)

S. 25, Beispiel 2.6: Leerzeichen vor Konjunktionszeichen fehlt. (Kühl, 27.01.2015)

S. 33, 1. Zeile: "Tupel werden in Programmiersprachen durch die Datenstruktur Liste dargestellt.": Es gibt auch andere Darstellungsmöglichkeiten. Daher ist der folgende Satz besser: "Tupel können in Programmiersprachen durch die Datenstruktur Liste dargestellt werden." (Kühl, 27.01.2015)

S. 38, 1. Absatz nach den Beispielen: "die äquivalenten Elemente": wird klarer ausgedrückt durch: "die zueinander in Relation stehenden Elemente" (Kosubek, 29.05.2015)

S. 43, vorletzter Absatz des Beweises: "manfür": Leerzeichen vergessen (Derheld, 14.01.2016)

S. 45, Mitte: "{2,3,4}}": Eine Schließklammer zu viel (Ernst, 10.01.2015)

S. 52, Beispiel 2.22: In R6 sollte neben y auch x in Betragsstrichen stehen. Dann ist die Relation linksvollständig, aber immer noch nicht rechtseindeutig. Diese Relation löst den Fehler auf S. 55. (Iwanowski, 13.03.2018)

S. 55, Komposition von R6 und R9: R6 ist nicht linksvollständig, wie auf S. 53 richtig bemerkt wird. Daher kann die Komposition auch nicht linksvollständig sein. Es muss statt R6 eine andere nicht rechtseindeutige Relation gewählt werden, welche linksvollständig ist. (Porath, 06.11.2017)

S. 60, vor Definition 2.8: "N induziert ... " wird besser beschrieben durch "Die bijektive Funktion f  liefert eine lückenlose Abzählung von M, wobei die natürlichen Zahlen als Abzählindex dienen.” (Kosubek, 29.05.2015)

S. 61: Q+ wird nicht im Symbolverzeichnis erklärt. (Marg, 16.06.2015)

S. 62: Absatz nach Satz 2.11: Das Cantorsche Diagonalverfahren wurde im Lehrbuch nicht für Q gezeigt. Daher muss der letzte Satz lauten: "Es reicht, die Existenz einer bijektiven Funktion zwischen N und Q zu beweisen, und das wird durch eine eindeutige Konstruktion mittels des Cantorschen Diagonalverfahrens gezeigt." (Kosubek, 29.05.2015)

S. 63 unten: "Die Begriff inverse Elemente und Nullmultiplikation": "Begriffe" (Frenzel, 17.11.2014)

S. 69, Aufgabe 2.1: "Begründung Sie Ihre Antwort": "Begründen" (in a) und b)) (Frenzel, 17.11.2014)

S. 77, Aufgabe 2.23: Die Menge der reellen Zahlen muss mit Dopplestrich bezeichnet werden. (Karafiat, 05.05.2015)

S. 78, Aufgabe 2.27: Symbol Q+ statt Q+ verwendet. (Iwanowski, 18.06.2015)

S. 78, Aufgabe 2.30: Für de Morgan braucht man nur zwei verschiedene Elemente auszuwählen. (Karafiat, 05.05.2015)

S. 80, Definition von Satz: "Ein Satz ist eine wahre Aussage". Das ist allgemeine Übereinkunft in der Welt der Mathematik, also wenn man von einem mathematischen Satz spricht. Sprachliche Sätze sind ebenfalls Aussagen, die aber auch falsch sein können, z.B. "Es gibt Menschen, die über 10 m groß sind." (Ziethen, 18.11.2014)

S. 90, 2. Absatz: "Beweistechnik der vollständige Induktion": "vollständigen" (Hänel, 13.01.2015)

S. 93, nach Induktionsverankerung: "Man beachte dass": Komma fehlt (Hänel, 14.01.2015)

S. 94, letzter Absatz von 3.2.3: "aus dem Vorgänger kontruiert wird": "konstruiert" (Hänel, 14.01.2015)

S. 107, Aufgabe 3.12: Der Satz gilt bereits für n>=0. (Iwanowski, 04.06.2015)

S. 115, Satz 4.3,2): Die Ausweitung der bereits richtig formulierten Aussage auf |m| schränkt die Bedingung weiter ein und ist daher hilfreicher bei der Suche nach Teilern. (Geist, 28.11.2014)

S. 119, vorletzter Absatz: "und nicht mit Q(x)": Punkt fehlt. (Ernst, 30.01.2015)

S. 125: BEZOUT in Fußnote: Kapitälchen (Beenen, 30.01.2015)

S. 140: Letzte Zeile im Beweis von Satz 4.14: "m mal n" (Gotzes, 19.06.2018)

S. 145, 2. Zeile: Leerzeichen vor "Man findet aber" fehlt. (Kühl, 27.01.2015)

S. 151, Aufgabe 4.12: "mit der logarithmischen Abschätzung aus der Vorlesung": "mit der logarithmischen Abschätzung aus Satz 4.22" (Ernst, 30.01.2015)

S. 157, 1. Absatz unter 5.1.2: "und die Operatoren + und - auf Z assoziativ und kommutativ sind": "+ und ·" (Porath, 08.08.2016)

S. 167, Beispiel 5.7: Bezug auf Definition 5.9, nicht 5.8 (Neubert, 13.03.2017)

S. 171, Kommentar zu Elementen gleicher Ordnung Mitte: Abbildung muss wie angekündigt vertrauscht werden, außerdem eine Klammer zu viel (Matheus, 31.12.2016)

S. 178: GALOIS in Fußnote: Kapitälchen (Beenen, 30.01.2015)

S. 180, 1. Absatz: "Wir entfernen nun neutrale Element": "das neutrale Element" (Hänel, 16.01.2015)

Seite 187, Beispiel 5.19, 1. Absatz: "das jeweils begerechnete Restpolynom": "berechnete" (Porath, 08.08.2016)

Seite 188, Beispiel 5.20, fünft-letzte Zeile:"2x² - 2x + 2": "-2x + 2" (Porath, 08.08.2016)

S. 196, drittletzter Absatz: "In derAbspeicherung von Daten": Leerzeichen setzen (Kühl, 20.10.2014)

S. 198/199, Aufgaben 5.8 und 5.9: "*" muss durch modulares Multiplikationssymbol ersetzt werden. (Beenen, 30.01.2015)

S. 201, Aufgabe 5.19: Hinweis auf Folie DM5-16 durch Beispiel 5.24 auf S. 193/194 ersetzen (Kühl, 20.10.2014)

S. 201, Aufgabe 5.19: Es soll die multiplikative Gruppentafel untersucht werden. (Beenen, 25.06.2014)

S. 206, letzte Formel: Das Kreuzprodukt auf der rechten Seite muss MxN heißen (nicht MxN1). Das Kreuzprodukt auf der linken Seite ist korrekt (MxN1). (Hänel, 17.01.2015)

S. 208, 3. Zeile von unten: "n! viele": "n! Möglichkeiten" (Beenen, 30.01.2015)

S. 212, Satz 6.10: "Gegeben eine Menge M": "Gegeben sei eine Menge M" (Hänel, 19.01.2015)

S. 213, Definition 6.1: "heißt der Binomialkoeffizient": Doppelpunkt dahinter oder Punkt hinter die nachfolgende Formel setzen. (Beenen, 30.01.2015)

S. 213, Satz 6.11: Punkt nach Formel entfernen. (Iwanowski, 30.01.2015)

S. 219, 3. Absatz: "für die Permutation": "für folgende Permutation:" (um den sonst obligatorischen Punkt nach der Formel zu vermeiden) (Beenen, 30.01.2015)

S. 219, vorletzter Absatz: "das erste Elemente": "das erste Element" (Hänel, 19.01.2015)

S. 221, 1. Zeile: "Im allgemeinen": "Im Allgemeinen" (Beenen, 30.01.2015)

S. 221, 2. Absatz: "Dann ergibt das Ergebnis": "Dann ist das Ergebnis" (Beenen, 30.01.2015)

S. 224, 1. Absatz in 6.2.4: "alle miteinander zusammenhängen": Komma davor fehlt. (Beenen, 30.01.2015)

S. 224, drittletzter Absatz: "die Inverse": "das Inverse" (Beenen, 30.01.2015)

S. 226: CAYLEY in Fußnote: Kapitälchen (Beenen, 30.01.2015)

S. 229. Aufgabe 6.11: "sodasssich": "sodass sich" (Beenen, 30.01.2015)

S. 245, 7.2 Wege in Graphen: "W = (v0, e0, v1, e1, v2, e2, v3,...,vk-1, ek, vk)": "W = (v0, e1, v1, e2, v2, e3, v3,...,vk-1, ek, vk)" (Porath, 08.08.2016)

S. 245, 7.2 Wege in Graphen: "also (e0, e1,...,ek)": "also (e1, e2,...,ek)" (Porath, 08.08.2016)

S. 254, 2. Absatz unter Beispiel 7.8: "Während die genannten Strukturen im gerichteten Fall symmetrisch sind, haben sie diese Eigenschaft im ungerichteten Fall nicht notwendigerweise": "gerichteten" und "ungerichteten" tauschen (Porath, 08.08.2016)

S. 257: Kommentar zu Schritt 8) wurde von Schritt 7) kopiert und muss angepasst werden. (Porath, 08.08.2016)

S. 259, 2. Absatz: "die eindeutig weiter sind, als die zu Ecke s": "Ecke z" (Porath, 08.08.2016)

S. 262, nach dem Beweis: "für einen Graphen G mit n Kanten": "n Knoten" (Porath, 08.08.2016)

S. 266, 3. Absatz: Diese Bemerkung ist falsch. Ein Gegenbeispiel findet man in Abbildung 7.26: Wenn IJ durch JM ersetzt wird, hat man kein Minimalgerüst mehr, aber die durchschnittliche Wegelänge auf dem neuen Gerüst ist geringer. (Porath, 08.08.2016)

S. 271, letzter Absatz: "Im Spezialfall gehörensogar Punkte von beide Seiten": Leerzeichen fehlt und "beiden Seiten" (Hänel, 22.01.2015)

S. 282, 2. Absatz: "unterchiedliche": "unterschiedliche" (Hänel, 22.01.2015)

S. 288, Satz 7.26: Der Satz gilt nur für zusammenhängende Graphen (Iwanowski, 13.07.2016)

S. 288, Landkarte: 2 Länder sind unzulässig gefärbt: Slowenien benötigt die Farbe 4 (nicht 2) und Aserbaidschan die Farbe 3 (nicht 4). (Schulz, 20.01.2015)

S. 305 (Index): partielle Ordnungsrelation (nicht patielle) (Iwanowski, 23.09.2014)

Weitere Fehler und Verbesserungsbedarfe werden hier von Paul Kosubek beschrieben (email vom 23.07.2015)

Es folgt eine Hitliste der nichtanonymen Erstentdecker in der Reihenfolge, wie viele Fehler sie gefunden haben. Die Autoren sind außer Konkurrenz und werden hier nicht aufgeführt.

1) Paul Kosubek (43 Treffer)

2) Florian Beenen (13 Treffer)
2) Sönke Hänel (13 Treffer)

4) Jörg Porath (12 Treffer)

5) Niklas Kühl (5 Treffer)

6) Marcel Ernst (3 Treffer)

7) Janet Fränzel (2 Treffer)
7) Helga Karafiat (2 Treffer)
7) Malte Matheus (2 Treffer)

10) Daniela Derheld (1 Treffer)
10) Robin Geist (1 Treffer)
10) Claudia Gotzes (1 Treffer)
10) Sebastian Marg (1 Treffer)
10) Felix Neubert (1 Treffer)
10) Maximilian Schulz (1 Treffer)
10) Arne Ziethen (1 Treffer)