Analysis/ Analysis 1

Ärgere dich nicht über deine Probleme in der Mathematik; ich kann dir versichern, dass meine noch größer sind.“

(Albert Einstein 1879-1955)

Die Analysis ist ein zentrales Teilgebiet der Mathematik. Die grundlegende Analysis befasst sich mit Folgen und Reihen, mit Grenzwerten sowie mit Funktionen reeller Zahlen und deren Stetigkeit, Differenzierbarkeit und Integration. Die Methoden der Analysis sind besonders in allen Natur- und Ingenieurwissenschaften von großer Bedeutung, sind aber auch in der Informatik und den Wirtschaftswissenschaften relevant.

  • Die Mathematik ist eine der ältesten Wissenschaften überhaupt. Eine erste Blüte erlebte sie in der Antike in Griechenland und im Hellenismus. (Pythagoras, Euklid, Archimedes)

  • Erst etwa im 15. Jahrhundert entstand durch Probleme der Anwendung (Navigation, Kriegswesen, Astronomie, Optik) wieder das Bedürfnis nach Mathematik. Die Beschreibung von Tangenten und die Bestimmung von Flächeninhalten führten zur Infinitesimalrechnung von Leibniz und Newton. Newtons Mechanik und sein Gravitationsgesetz waren auch in den folgenden Jahrhunderten eine Quelle richtungweisender mathematischer Probleme wie des Dreikörperproblems. (Kepler, Newton Leibniz)
  • Im 18. Jahrhundert kam es zur "Wissensexplosion". Euler führte den Begriff "Analysis" ein. Ein Großteil der heute verwendeten Symbolik geht auf Euler zurück. (Euler, Lagrange, Laplace)
  • Erst im 19. Jahrhundert erfolgte die exakte Begründung der Analysis. Dedekind erarbeitete eine logisch einwandfreie Darstellung der Konstruktion der rationalen und reellen Zahlen aus den ganzen Zahlen. Damit stand das Gebäude der Analysis und es gab eine rasante Weiterentwicklung. (Gauß, Bolzano, Cauchy, Weierstraß, Cantor, Dedekind)
  • Heute wird die Mathematik durch das Bedürfnis geprägt, die Grundlagen dieser Wissenschaft ein für allemal zu festigen. Zusätzlich führt der Einzug von Computern in die Mathematik zu einer dramatischen Weiterentwicklung - insbesondere der numerischen Mathematik. Mit Hilfe des Computers können nun komplexe Probleme, die per Hand nicht zu lösen waren, relativ schnell berechnet werden.

Inhalt

Die Inhalte der Analysis werden in Vorlesungen vermittelt. Übungsbeispiele veranschaulichen den Stoff.

  • Kontaktzeiten (Vorlesung und Übung): 1/4 des Gesamtaufwandes
  • Selbststudium (Tutorien und eigenständiges Üben): 3/4 des Gesamtaufwandes

1. Rechenregeln
2. Zahlentypen
3. Zahlenfolgen
 3.1.   Algebraische Zahlenfolge
 3.2.   Geometrische Zahlenfolge
 3.3.   Grenzwert von Zahlenfolgen
4. Funktion (Relation)
5. Darstellungsformen
6. Eigenschaften
7. Umkehrfunktion
8. Funktionstypen
 8.1. Ganze Funktionen
 8.2. Gebrochen rationale Funktionen
  8.2.1. Unecht gebrochen rationale Funktionen
  8.2.2. Fundamentalsatz der Algebra
  8.2.3. Partialbruchzerlegung
 8.3. Trigonometrische Funktionen
 8.4. Algebraische Relationen zweiter Ordnung    
 8.5. Exponentialfunktion
 8.6. Logarithmusfunktion
9. Grenzwert von Funktionen
10.     Stetigkeit von Funktionen
11.     Differentialrechnung
 11.1. Differentialquotient
 11.2. Differentiationsregeln
 11.3. Regel von de L´Hospital
 11.4. Nullstellenbestimmung
 11.5. Kurvenuntersuchungen
 11.6. Extremwertaufgaben
 11.7. Produktionsfunktion
  11.7.1. Elastizität
  11.7.2. Rentabilität
  11.7.3. Kostenfunktion
  11.7.4 Gewinnmaximum
12.     Unendliche Reihen
 12.1. Reihen mit konstanten Gliedern
 12.2. Potenzreihen
13.     Integralrechnung
 13.1. Das bestimmte Integral
 13.2. Das unbestimmte Integral
 13.3. Fundamentalsatz der Differential-/Integralrechnung
 13.4. Grundintegrale
 13.5. Integrationsmethoden
14.     Funktionen mit mehreren Variablen
 14.1. Partielle Ableitung
 14.2. Extremwerte mit und ohne Nebenbedingungen

Tutorien

Die Analysis erfordert einen hohen Anteil an eigenständiger Übung. Wir organisieren für Sie freiwillige Tutorien, um Sie beim Training zu unterstützen.

Die Themen der Analysis werden in elf Vorlesungsterminen behandelt. Zu jeder Vorlesung gibt es ein freiwilliges Tutorium, in welchem der Stoff der Vorlesung geübt werden kann. Am letzten Vorlesungstermin wird eine Probeklausur gestellt.

Ihr Tutor hat folgende Aufgaben:

·         Organisation und Moderation der Tutorien

·         Kontrolle Ihre Lösungswege und Lösungen

·         Beantwortung von offenen Fragen zum Thema

·         Aufzeigen alternativer Rechenwege

·         Geben von Tipps und Empfehlungen

Ihr Tutor hat ausdrücklich nicht die Aufgabe, Ihnen Lösungswege vorzurechnen. Er soll im Gegenteil Ihre eigene aktive Teilnahme fordern und fördern.

Literatur zur Vorlesung:

Die folgenden Bücher können zur Unterstützung bei der Nachbearbeitung der Vorlesungsinhalte dienen. Es handelt sich dabei um eine Auswahl, die nach eigenem Ermessen um weitere Werke ergänzt werden kann:

  • Lothar Papula; Mathematik für Ingenieure 1; Viewegs Fachbücher der Technik
  • Albert Fetzer, Heiner Fränkel; Mathematik 1; Springer Verlag
  • Klaus Niederdrenk, Harry Yserentant; Funktionen einer Veränderlichen - Analytische und numerische Behandlung; Vieweg Verlag
  • Peter Stingl; Mathematik für Fachhochschulen - Technik und Informatik; Hanser Verlag
  • Wolfgang Preuß, Günter Wenisch; Lehr- und Übungsbuch Mathematik; Fachbuchverlag Leipzig
    • Band 1: Mengen - Zahlen - Funktionen - Gleichungen
    • Band 2: Analysis für Informatiker in Wirtschaft und Finanzwesen

Klausur und Klausureinsicht

Durchführung der Klausur:

Die Klausur "Analysis" dauert 120 Minuten. Sie umfasst üblicher Weise 6 bis 7 Aufgaben. Als Hilfsmittel darf die auf diesen Seiten veröffentlichte Formelsammlung verwendet werden. Sie wird zu Beginn der Prüfung verteilt. Eigene Formelsammlungen oder Ausdrucke sind nicht zugelassen. Zusätzlich darf ein Taschenrechner verwendet werden. Dieser darf jedoch nicht programmierfähig oder grafikfähig sein.

Formelsammlung:

Für die Analysis wird ein allgemeines mathematisches Grundwissen vorausgesetzt. Die nachfolgende Formelsammlung soll Ihnen während der Klausur als Gedächtnishilfe dienen. Sie erhalten eine Kopie dieser Formelsammlung zu Beginn der Prüfung. Gegebenenfalls werden weitere Formeln auf dem Prüfungsbogen angegeben.

Formelsammlung 

Taschenrechner

In der Prüfung "Analysis1" sind ausschließlich Taschenrechner zugelassen, die nicht programmierbar und nicht grafikfähig sind. Die Verwendung programmierbarer oder grafikfähiger Taschenrechner wird als Täuschungsversuch gewertet.

Folgende Taschenrechner werden empfohlen und sind ausdrücklich zugelassen:

- Casio FX-82

- Casio FX-991ES

- Casio FX 991DE PLUS

- Sharp EL 501V

- Sharp EL 531VH

- Sharp EL 520VA

- HP 6s Scientific Calculator

- Texas Instruments TI-30 ECO RS

 

Klausureinsicht:

Zur Klausureinsicht ist normaler Weise keine Terminvereinbarung nötig, am besten kommen Sie einfach vorbei. Sollten Sie jedoch sicher gehen wollen, dass ich für Sie Zeit habe, dann rufen Sie bitte vorab durch oder senden mir eine E-Mail.